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"GEOMETRIA ANALITICA"

La geometria analitica nasce nel XVII secolo con i matematici francesi Pierre de Fermat (1601 - 1665) e Cartesio (René Descartes, 1596-1650) come metodo di studio dei fatti e delle relazioni geometriche.

La geometria analitica si avvale dell'introduzione di un riferimento nel piano in modo che ad ogni oggetto geometrico (punti, rette, parabole, ...) corrisponda un oggetto numerico o algebrico.

Tutto ciò, a partire dall'idea fondamentale di mettere in corrispondenza biunivoca i punti del piano con le coppie ordinate di numeri.

Con la geometria analitica si unificano due mondi, quello dei numeri (e quindi dell'algebra) con quello delle figure (e quindi della geometria) che fino ad allora avevano seguito linee di ricerca differenti, seguendo le due grandi tradizioni matematiche, quella di derivazione greca e quella di derivazione araba.

Uno sviluppo più moderno della geometria analitica è l'algebra lineare;

essa considera oggetti (quali vettori e matrici) che già diiettamente sono sia algebrici che geometrici e ne studia le relazioni che sono espresse da equazioni di primo grado (da ciò l'aggettivo «lineare»): tale limitazione è accompagnata da un progressivo abbandono della stretta interpretazione geometrica originaria.

E così caratteristica dell'algebra lineare l'attenzione alle dimensioni e alle "libertà" che vi sono in un ambiente di calcolo: facilmente, per questa via, si giunge a considerare "spazi" di dimensione qualsiasi.

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CONICHE La geometria analitica nasce nel XVII secolo con i matematici francesi Pierre de Fermat (1601 - 1665) e Cartesio (René Descartes, 1596-1650) come metodo di studio dei fatti e delle relazioni geometriche.
Tutto ciò, a partire dall'idea fondamentale di mettere in corrispondenza biunivoca i punti del piano con le coppie ordinate di numeri.
Con la geometria analitica si unificano due mondi, quello dei numeri e dell'algebra con quello delle figure e della geometria.
Uno sviluppo più moderno della geometria analitica è l'algebra lineare;
essa considera oggetti (quali vettori e matrici) che già direttamente sono sia algebrici che geometrici e ne studia le relazioni che sono espresse da equazioni di primo grado (da ciò l'aggettivo «lineare»).
studieremo le proprietà algebriche e geometriche di particolari curve nel piano:
le CONICHE.
Analizzeremo le coniche sia come sezioni di un cono, sia come luoghi geometrici;
determineremo poi le loro equazioni e vedremo come è possibile costruirle usando riga e compasso.
Infine, ne esamineremo alcune applicazioni in fisica, in astronomia e in architettura.
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RETTA e CONICHE Le coniche sono curve che non mutano la concavità: esse racchiudono regioni piane convesse; dividono così il piano in due parti, una esterna e una interna ad essa.
Per le loro caratteristiche geometriche, sono le curve più semplici da studiare ed è possibile analizzare in modo sistematico le reciproche posizioni di una conica e di una retta.
Ci occuperemo di dare un assetto teorico al problema di determinare le eventuali intersezioni tra una conica e una retta.
Ogni sistema di secondo grado in due incognite può essere interpretato come la forma algebrica del problema geometrico dell'intersezione di una conica con una retta;
determinare, quindi, le possibili intersezioni tra una conica e una retta, vuol dire determinare le soluzioni comuni delle loro corrispondenti equazioni.
In particolare, esamineremo come determinare algebricamente le intersezioni tra una parabola e una retta, tra una circonferenza e una retta, tra un'ellisse e una retta e tra un'iperbole e una retta.
Infine, analizzeremo il procedimento algebrico per determinare l'equazione di una retta tangente ad una conica data passante per un punto prefissato.
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MATRICI Le matrici rappresentano una particolare forma di organizzazione di dati o informazioni relativi a diversi fenomeni.
Un'organizzazione tabellare dei dati consente una loro rapida elaborazione e la costruzione di dati di sintesi, a partire dai quali interpretare fenomeni complessi vedendone sia gli aspetti contingenti che gli aspetti generali.
Analizzeremo alcuni esempi di problemi e di situazioni i cui dati possono essere efficacemente organizzati in forma tabellare e mostreremo l'equivalenza tra la rappresentazione con i grafi e quella con le matrici di relazioni sia qualitative che quantitative.
Poi ci dedicheremo allo studio degli aspetti matematici del calcolo con le matrici e alle loro proprietà. Infine, analizzeremo casi e situazioni in cui le matrici, con le loro operazioni, sono utilizzate per descrivere problemi e fenomeni diversi.
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MATRICI e TRASFORMAZIONI Una matrice quadrata di ordine 2 descrive una trasformazione del piano che lascia invariata l'origine di un sistema di riferimento cartesiano.
Ogni piano cartesiano può infatti essere pensato come insieme di vettori tutti applicati nell'origine;
l'origine stessa rappresenta il vettore nullo, che in una trasformazione lineare rimane sempre associato a se stesso.
Se la matrice associata a una trasformazione ha DETERMINANTE diverso da 0, allora la trasformazione è invertibile e la sua trasformazione inversa è descrivibile utilizzando la matrice inversa.
Applicando tutti i vettori del piano in uno stesso punto e fissando questo come origine di un sistema di riferimento cartesiano si ottiene una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e vettori e lo spazio può quindi essere indifferentemente utilizzato per descrivere proprietà associate a un insieme di punti oppure a un insieme di vettori.
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SISTEMI LINEARI Anche nello spazio tridimensionale, così come nel piano, è possibile introdurre un riferimento cartesiano che permette di individuare la posizione dì ogni punto.
A tale fine, si scelgono tre rette non complanari (dette assi del riferimento), che si intersecano in uno stesso punto (l'origine del riferimento);
si sceglie quindi una unità di misura ed un verso positivo per ognuno degli assi:
P ↔ (x; y; z)
Punto dello spazio ↔ Terna ordinata di numeri reali
I tre numeri reali che individuano un punto sono rispettivamente chiamati:
ascissa (x),
ordinata (y)
e quota (z).
L'ascissa, l'ordinata e la quota sono le coordinate cartesiane nello spazio tridimensionale.
I tre piani xy (quello a cui appartengono gli assi x ed y), xz e yz sono anche chiamati piani coordinati.
Se i tre assi sono tra loro perpendicolari, il riferimento viene chiamato riferimento cartesiano ortogonale; se le unità di misura sono uguali sui tre assi, il riferimento è anche detto monometrico.
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