L'algebra occupa un ruolo centrale nella "matematizzazione" della realtà, nella
costruzione cioè di modelli che schematizzano - mediante l'uso di simboli - fenomeni,
processi, situazioni che hanno un interesse concreto.
Questo processo di astrazione permette, con un solo ragionamento, di risolvere molti problemi concreti apparentemente del tutto diversi.
Insiemi numerici fondamentali
In matematica, i primi insiemi con cui si ha a che fare sono gli insiemi numerici.
La costruzione degli insiemi numerici fondamentali risponde a due esigenze:
- un'esigenza esterna al sistema numerico, legata alla necessità di risolvere problemi; - un'esigenza interna, dovuta alla opportunità di disporre di un ambiente di calcolo via via più potente in cui poter eseguire operazioni.
L'insieme N dei numeri naturali è il più semplice degli insiemi numerici:
esso risolve il fondamentale problema del contare.
In N possiamo addizionare e moltiplicare; non possiamo però, se non in alcuni casi,
eseguire le corrispondenti operazioni inverse: la sottrazione e la divisione.
I numeri naturali, tuttavia, non permettono di risolvere il problema dello scambiare, del «dare» e «avere»: occorre creare nuovi numeri. Per questo ad ogni numero naturale diverso da O attribuiamo un segno, positivo o negativo. In questo modo è possibile descrivere quelle grandezze che, come i debiti e i crediti, variano in due versi opposti.
Costruiamo così l'insieme Z dei numeri interi in cui non solo è sempre possibile addizionare e moltiplicare, ma anche eseguire la sottrazione.
Un ulteriore ampliamento dell'orizzonte numerico nasce dall'esigenza di misurare le grandezze. Per esprimere la misura di una grandezza rispetto ad un'altra, occorre poter frazionare le grandezze, considerare grandezze minori dell'unità e l'ambiente adeguato per farlo è l'insieme Q dei numeri razionali. In Q è sempre possibile dividere un numero per un altro, purché quest'ultimo sia diverso da O.
Nell'insieme Q non possiamo però misurare una qualunque grandezza: esistono grandezze che non possono essere espresse l'una come frazione dell'altra.
Si costruisce così l'insieme R dei numeri reali in cui si potenzia ulteriormente la capacità di risolvere problemi.
In esso, per esempio, è possibile calcolare la radice quadrata di un qualunque numero-positivo; non è tuttavia possibile trovare un numero reale che sia la radice quadrata di un numero negativo.
Di qui l'esigenza di ampliare anche l'insieme R e di considerare un nuovo insieme numerico - l'insieme C dei numeri complessi - in cui poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo e, quindi, risolvere problemi ancora più generali.
che hanno un interesse concreto.
Nella sua interpretazione più elementare, essa si propone di generalizzare le relazioni aritmetiche introducendo simboli letterali per indicare numeri e stabilendo regole per operare con le lettere.
In senso più astratto, l'algebra studia le operazioni sugli elementi di un insieme, a prescindere dalla natura di tali elementi (non solo numeri) e dal tipo di operazioni (non solo aritmetiche), precisando semplicemente le proprietà che queste operazioni debbono verificare, ossia la struttura che lega gli elementi dell'insieme in cui si opera.
Questo processo di astrazione permette, con un solo ragionamento, di risolvere molti problemi concreti apparentemente del tutto diversi.
Per stabilire la lunghezza di un terreno possiamo contare i passi necessari a percorrerlo. Sorge però il problema non solo di mettersi d'accordo su quanto sia lungo un passo, ma anche di esprimere una lunghezza compresa tra due numeri interi di passi.
Come fare nel caso in cui la lunghezza è poco più di 32 passi, ma meno di 33?
Per esprimere la misura di una grandezza rispetto ad un'altra, non è sufficiente saper contare.
Occorre poter frazionare le grandezze, considerare grandezze minori dell'unità. Per misurare, non bastano i numeri naturali, servono nuovi numeri.
L'insieme dei numeri razionali, che indichiamo con Q, risolve il problema del misurare.
In base ad esse possiamo combinare tra loro gli elementi e trasformare una sequenza di operazioni in sequenze più semplici e ad essa equivalenti fino ad associare alla sequenza iniziale un unico elemento: il risultato.
Queste trasformazioni sono rese possibili dalle proprietà che caratterizzano le operazioni.
In questo studio ne esamineremo alcune e daremo una definizione generale di operazione.
Parlando di operazioni, infatti, non ci riferiremo soltanto alle operazioni aritmetiche o a operazioni che, comunque, combinano tra loro elementi numerici.
Possiamo in realtà definire molto liberamente un'operazione in un insieme e operare in ambienti sia numerici che non numerici, sia finiti che infiniti.
- scandito in successivi intervalli di tempo -
e spesso la situazione che si verifica a un certo tempo dipende in modo determinato dalla situazione del tempo precedente.
La crescita di una popolazione, ad esemplo, aumenta ogni anno di una quantità che dipende dal numero di individui presenti l'anno precedente.
Il modello matematico che descrive una tale situazione ha una evoluzione a tempi discreti:
ai successivi intervalli di tempo - al tempo O, al tempo 1, al tempo 2 e così via
corrispondono successivi numeri che indicano via via un nuovo valore della popolazione. Ogni valore è legato al precedente da una ben precisa legge e può essere ricavato da esso applicando ogni volta la stessa regola.
La successione di numeri che otteniamo presenta una regolarità che può esprimersi in una formula. Questa lezione è dedicata allo studio delle leggi
con le quali si costruiscono molte successioni di numeri.
In essa esamineremo le proprietà di particolari successioni:
le progressioni - e di alcune successioni di figure.
In tal caso la misura di a è k volte b: cioè a = kb.
Si potrebbe pensare che la misura di ogni segmento sia un numero razionale.
Anche se questo è vero nella pratica, non lo è invece da un punto di vista teorico.
Esistono infatti segmenti incommensurabili, che cioè non hanno sottomultipli comuni con il segmento scelto come unità di misura:
la loro lunghezza non è esprimibile con un numero razionale. Questa trattazione è dedicata allo studio dell'insieme R dei numeri reali che costituisce un ampliamento dell'insieme Q dei numeri razionali e che permette di misurare il rapporto tra due qualunque grandezze, sia commensurabili che incommensurabili.
Per esprimere una proprietà che vale non soltanto in un caso, ma per ogni elemento di un dato insieme, si utilizzano le lettere.
Ad esempio la proprietà commutativa nell'insieme dei numeri Interi vale per tutti i numeri indipendentemente dal valore dei particolari numeri che consideriamo;
non possiamo quindi, riferirci a numeri particolari ma occorre indicare simbolicamente i numeri con delle lettere:
a + b = b + a dove a e b rappresentano due numeri naturali qualsiasi.
Una lettera indica un elemento generico di un insieme; se l'insieme che si considera è numerico, una lettera indica un generico numero di quell'insieme.
Nella costruzione di una formula, l'uso delle lettere permette di descrivere in modo sintetico e preciso le relazioni matematiche tra le quantità che compaiono in un problema di geometria, di fisica, di economia o di altra natura.
Per costruire le formule è spesso necessario eseguire operazioni con le lettere e quindi occorre stabilire come si opera con tali simboli per calcolare, trasformare, manipolare un'espressione.
Il nuovo concetto, introdotto per uno scopo mirato, è divenuto lo strumento per risolvere molti altri problemi, del tutto diversi, e si è presentato in tutti i campi della matematica e delle scienze.
In ogni settore in cui si presentino delle simmetrie c'è un gruppo:
sono esempi di gruppi le rotazioni di una sfera, le strutture dei cristalli, le simmetrie degli atomi.
Ogni geometria può essere definita come lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni. In questa trattazione ci occupiamo di gruppi, cioè strutture astratte con una operazione, ed estendiamo poi lo studio a strutture astratte con due operazioni:
anelli, campi e spazi vettoriali.
A partire dall'insieme N dei numeri naturali si sono costruiti via via insiemi numerici più ampi:
Insiemi Z dei numeri interi, Q dei numeri razionali, R dei numeri reali.
Nell'insieme R, l'equazione di secondo grado (x2 + 1 = 0) non ha soluzioni, poiché non esiste alcun numero reale il cui quadrato è uguale (a - 1).
Per poter risolvere questa semplice equazione occorre introdurre nuovi numeri chiamati:
NUMERI COMPESSI.
Tuttavia fu solo nel XIX secolo che i numeri complessi vennero trattati in modo soddisfacente.
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) e William Rowan Hamilton (1805-1865), indipendentemente,
li definirono come coppie di numeri reali aventi alcune proprietà particolari e nello stesso periodo sia Gauss che Jean-Robert Arnaud (1768-1822), ne diedero una semplice rappresentazione geometrica che determinò la piena accettazione dei numeri complessi da parte dei matematici.
