Uno dei periodi più interessanti per la storia della matematica è stato quello che comprende i secoli durante i quali si sono gettate le basi del calcolo infinitesimale:
dalla fine del '500, con i primi tentativi di proseguire l'opera di Archimede, alla redazione degli scritti indipendenti di Newton e Leibniz (XVII e XVIII sec. ).
I problemi più importanti erano essenzialmente due:
la ricerca di un metodo generale per la costruzione delle tangenti ad una curva
e una teoria soddisfacente per il calcolo delle aree.
In entrambi i casi emerge la necessità di introdurre nel continuo la nozione di una quantità ε infinitamente piccola e perciò indivisibile.
Questa differenza, infinitamente piccola, fu detta da Leibniz differenziale e indicata con il simbolo dx
Le operazioni con cui si eliminano i differenziali, per ritornare al calcolo delle quantità finite,
costituiscono il calcolo integrale.
L'insieme dei due calcoli, differenziale ed integrale, costituisce quello che oggi si chiama analisi infinitesimale.
Ma se il XVI e il XVII sec. sono stati i secoli dell'intuizione e dell'applicazione pratica, è solo nel secolo XIX che si ha la revisione logica rigorosa dei concetti fondamentali dell'analisi infinitesimale, per opera dei matematici Bolzano, Fourier, Gauss, Weierstrass e soprattutto Cauchy a cui si deve la prima vera elaborazione scientifica del concetto di limite.
Studieremo gli elementi dell'analisi infinitesimale, dal concetto di limite alla continuità, dal calcolo differenziale al calcolo integrale.
Da un punto di vista intuitivo, una funzione è continua se il suo grafico è una curva senza interruzioni, che può essere tracciata "senza staccare la penna dal foglio".
La definizione di limite permette di precisare in modo rigoroso questo concetto.
Essa, infatti, consente di analizzare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto x0 privato di x0 stesso, quindi è indipendente dal corrispondente valore f(x0), ammesso che esista. Se f(x0) esiste e risulta uguale al valore del limite, di f(x0) per x→x0, diremo che la funzione è continua in x0. Il problema del calcolo dei limiti per tali classi di funzioni risulta notevolmente semplificato.
quello di trovare la tangente ad una curva in un suo punto
e quello del calcolo della velocità di un corpo ad ogni istante del suo moto.
La risoluzione di tali problemi ha portato a considerare le variazioni Δf = f(x + Δx) - f(x) subite da una funzione y = f(x) in corrispondenza di incrementi Δx
della variabile indipendente x.
La derivata è definita come il valore limite dei rapporti Δf/Δx
(rapporti incrementali) al tendere di Δx a zero.
In questa lezione cercheremo di comprendere tale concetto; verrà sottolineato, in particolare, come la conoscenza della derivata di una funzione e delle eventuali derivate successive, fornisca importanti informazioni sul comportamento della funzione stessa.
Quasi sempre, il legame di dipendenza tra le variabili che caratterizzano un fenomeno, è espresso da una legge matematica di tipo funzionale.
La comprensione del fenomeno è fortemente connessa a uno studio strutturale del grafico della funzione rappresentativa;
Ovvero la costruzione e l'analisi del grafico stesso attraverso procedure e criteri che ne evidenzino le peculiarità della struttura
(crescenza, decrescenza, massimi, minimi, flessi, singolarità, ecc).
L'idea di fondo è quella di considerare classi di poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio:
indicando con a, l'area del poligono di n lati inscritto nel cerchio e con A, l'area del poligono di n lati circoscritto, si dimostra che al crescere di n le due successioni {an} e {An} sono convergenti e convergono allo stesso limite.
Tale limite definisce l'area del cerchio.
La generalizzazione di tale procedimento a figure piane limitate da contorni curvilinei porta alla nozione di integrale definito, oggetto di studio in questa lezione.
Da qui la necessità di individuare alcune tecniche che permettano di risolvere quegli integrali che più comunemente si presentano negli studi.
Il calcolo integrale trova infatti ampia applicazione in tutte le scienze che fanno uso della matematica (statistica, economia, finanziaria, fisica, ecc.)
e nella soluzione di problemi pratici (calcolo delle aree, dei volumi, ecc.);
la sua conoscenza, anche se limitata ai casi più ricorrenti, e la capacità di muoversi attraverso le molteplici regole, diventano essenziali per chi vuole meglio interpretare la realtà che ci circonda.
La formulazione di tali relazioni viene fatta per mezzo di EQUAZIONI FUNZIONALI,
ossia di equazioni nelle quali L'INCOGNITA È UNA FUNZIONE.
Tra le equazioni funzionali sono particolarmente importanti LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, le quali stabiliscono un legame tra la funzione incognita f(x), la variabile indipendente x, e almeno una delle sue derivate f', f", ecc...
Il processo risolutivo delle equazioni differenziali viene detto integrazione;
esso permette, tenendo conto di opportune condizioni supplementari (condizioni iniziali, al contorno, ecc..) che interpretano i vincoli del problema, di determinare le grandezze che intervengono nel fenomeno considerato.
